관련 단원 중1 수학 1학기 > 소인수분해
설명
소인수분해의 의미
소인수분해란 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 말합니다.
소수란 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수를 뜻합니다.
소수의 소( 素 )는 바탕이라는 의미를 가집니다. 자연수의 바탕이 되는 수로, 1보다 큰 자연수는 소수 홀로 또는 소수의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
2, 3, 5, 7, 11...은 소수로, 자연수를 소수의 곱으로 나타내면 그 수가 어떤 소수들로 이루어져 있는지 알 수 있습니다.
예) 36이라는 수를 생각해 봅시다. 36은 2와 3의 곱으로 나타낼 수 있습니다.
36을 소인수분해하면 36 = 2² × 3²라는 결과를 얻을 수 있습니다.
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| 36을 소인분해하는 과정 |
이와 같이 소인수분해는 자연수를 더이상 쪼갤 수 없는 소수의 곱으로 나타내는 과정입니다.
소인수분해의 쓰임
자연수를 소인수분해하면 최대공약수와 최소공배수를 효과적으로 구할 수 있습니다.
두 수를 소인수분해하면 공통으로 들어 있는 소수를 이용해 최대공약수를 구할 수 있고, 반대로 모든 소수를 포함하는 가장 작은 수를 찾아 최소공배수를 구할 수 있습니다.
예) 36과 48을 비교하면, 36 = 2² × 3²이고 48 = 2⁴ × 3입니다.
두 수의 최대공약수는 공통으로 들어 있는 2² × 3 = 12입니다.
36은 2가 2번, 3이 2번 곱해져 있고
48은 2가 4번, 3이 1번 곱해져 있으므로 공약수 중 가장 큰 수는
2가 2번, 3이 1번 곱해져 있는 12가 됩니다.
두 수의 최소공배수는 2⁴ × 3² = 144입니다.
36은 2가 2번, 3이 2번 곱해져 있고
48은 2가 4번, 3이 1번 곱해져 있으므로 공배수 중 가장 작은 수는
2가 4번, 3이 2번 곱해져 있는 144가 됩니다.
이런 식으로 소인수분해를 해두면 숫자가 상당히 크더라도 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있습니다. 그래서 소인수분해는 단순히 소인수분해를 할 수 있음에만 초점을 두기 보다는 소인수분해를 어떻게 활용하는가에도 함께 공부해두어야 합니다.
소인수분해 연습문제
소인수분해의 연습을 위해 1번부터 100번까지 총 100개의 연습문제 자료를 준비했습니다.
2020년 자료를 가독성 있게 재구성하였고, 일부분 문항은 다른 문항으로 교체하였습니다.
소인수분해의 기초를 가지고 싶으시다면 가지치기 학습지를 우선 풀어보시길 바랍니다.
문항은 12, 18과 같은 작은 숫자부터 11340과 같이 상당히 큰 숫자가 섞여 있습니다. 활동지를 통해 자연스럽게 소인수분해를 연습해보세요.
소인수분해 꿀팁!
2,3,5의 배수의 특징을 알고 있다면 소인수분해에 도움이 됩니다.
- 2의 배수: 일의 자리가 0,2,4,6,8
- 3의 배수: 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수
- 5의 배수: 일의 자리가 0,5
(5로 나누면 0을 떼고 2를 곱하면 됨)
예) 540을 소인수분해해봅시다.
540의 일의 자리가 0이므로 5로 나누면 0을 떼고 54×2=108이 됩니다.
108의 각 자리의 합이 9이므로 108÷3=36, 36÷3=12, 12÷3=4
4는 2와 2의 곱이므로
540은 2² × 3³ × 5로 나타낼 수 있습니다.
처음에는 나누는 과정이 길어 보이지만, 몇 번 연습하다 보면 큰 수도 금방 나눌 수 있습니다.
개념 정리는 이 글을 참고하세요.
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| 소인수분해 연습문제 100 |
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